CATALOG DE AUTORI

CĂUTARE ARTICOLE

Cautare Articole


ARHIVĂ EDIŢII

RETROSPECTIVA
SĂPTĂMÂNALĂ
DE PROZĂ


Acasa > Manuscris > Cugetari >  





Introducere în geometria afină
 
 
 
Distribuie!
 
Distribuie!       Aboneaza-te!
Introducere în geometria afină  
  
 
Meditez. Ca un prelat al orientului îndepărtat, cufundându-mă în gânduri ajung dă simt aievea Divinitatea care-mi dezvăluie multe particularităţi pe care raţiunea le-ar găsi mai dificile. Unii iau contact cu muza în această situaţie şi scriu la dictarea ei. Muza mea este multilateral dezvoltată şi, câte o dată, mă plimbă pe meleagurile ştiinţei care o depăşesc, iar Divinitatea intervine direct generând acel „de ce” al copilăriei, de fapt motorul dezvoltării cunoştinţelor.  
  
În loc de rezumat.
Punerea pe nas a unei simple perechi de ochelari ne dezvăluie lumea, cel puţin aceea a cifrelor, în alte dimensiuni. Punctul devine, din simplu semn ortografic, centrul universului. El nu mai este o nulitate zvârlită în univers ci tot universul se poate interpreta în raport cu el.  
  
O nouă geometrie? O nouă algebră? Nicidecum! Pare absurd să pui pe braţele unei o balanţe un punct mic şi întregul univers, iar balanţa să rămână în echilibru. Vă ofer aceşti ochelari cu rugămintea se ai folosi. Merită!  
  
Dreapta o curbă închisă.  
  
În loc de axe numerice, elipse.  
  
Plane ortogonale în locul domeniilor numerice imaginare.  
  
Grafice oglindite în imaginar.  
  
Redefinirea clasicelor şi <împărţire>  
  
etc, etc.  
  
Sunt numai câteva din rezultatele dezvoltării geometriei afine, un eveniment important pentru matematică.  
  
Universul, o sferă măricică
În copilăria mea am citit într-o carte de popularizare a fizicii că, privind cerul, am putea să ne vedem propria ceafă. Deosebită era recomandarea să ne luăm un scăunel deoarece apariţia cefei printre stele ar putea dura câteva miliarde de ani. O anticipare a universului curb vehiculată astăzi?  
  
În fond ce înţelegem prin univers denumit şi cosmos?  
  
Groso -modo este un spaţiu "gol" populat cu masă minerală, apă şi/sau gaze acumulate în cantităţi atât de mari încât forţele Newtoniene generează temperaturi incomensurabile . Termometrul naturii începe cu Zero Absolut dar se termină la miliarde de grade. La fel şi barometrul referindu-ne la presiuni.  
  
Ne întrebăm cu toţii dacă saţiul "gol" este într-adevăr gol sau este populat la rândul său şi cu puncte neaglomerabile (de tipul boson-ilor). În această lume nouă, a spaţiului gol, se petrec fenomene ciudate.  
  
Geometria afină, deocamdată în "tranziţie", începe să ia în considerare elemente mici, foarte mici, numit puncte care pot fi materiale (intersecţia a două linii) sau generice de tipul unei cuante, cât şi elemente foarte mari, de tipul unei sfere de rază infinită care devine "planul U de la infinit", un element geometric ce poate înlocui planul euclidian devenit simplu planul E2.  
  
De ce neaglomerabile? Unu plus unu fac doi. Da, dar numai în domeniul numeric numit infinit numărabil. Dincolo de acest domeniu unu şi cu unu fac tot unu. Mai multe puncte pot genera o linie, dacă şi numai dacă sunt puncte aglomerabile. Dar am întâlnit în natură şi puncte care, în orice cantitate, chiar infinită rămân tot punct. Închipuiţi-vă o linie infinită privită dintr-o direcţie perpendiculară pe desfăşurarea ei. Este un punct, dar reprezintă întreaga linie.  
  
Numesc punct aglomerabil un infinit mic rezultat ca inversul unui infinit numărabil iar, acest punct, poate genera figuri cu lungimi , suprafeţe şi chiar volume. Antonimul său, punctul neaglomerabil, este inversul unei entităţi numerice aparţinând infinitului de puterea continuului. Punct.  
  
Amănunte:
După cum arată şi numele, geometria afină este o geometrie înrudită care ar cuprinde afini adică membri prin alianţă. Practic geometria afină începe unde astăzi se termină geometria clasică. Se lărgeşte familia atât tot.  
  
S-a plecat de la constatarea că în natură nu ar exista drepte şi planuri euclidiene. Natura este curbă şi strâmbă. Cilindrii deformaţi, de forma covrigului sau trunchi de copac (neiloid), cât şi suprafeţe închise de tipul unui bolovan sunt întâlnite la orice pas. Trăim pe o sferă nu pe o tobă cum credea Euclid. Şi totuşi …  
  
Au trebuit peste 2000 ani spre a dovedi o constatare de care se temea însuşi părintele geometriei. În postulatul 5 el a evită să pronunţe vocabula paralelă deşi axioma se referă tocmai la ea.  
  
Încerc să recapitulez cam tot ce se poate considera nou în geometria afină., dar nu exhaustiv.  
  
Punctul geometric
De ce punctul? Simplu. Calculatorul în rol de asistent al desenatorului tehnic nu lucrează cu figuri geometrice ci cu puncte. Aşa numiţii vectori de poziţie sunt de fapt coordonatele unui punct în spaţiu care defineşte un loc geometric. Figurile geometrice şi relaţiile dintre ele sunt perfect definite de reţelele de puncte cu care lucrează calculatorul, şi mult mai precis faţă de cele construite cu rigla şi compasul.  
  
Punctul geometric este o noţiune care poate fi atât de mică încât nimeni nu-i dă importanţă. În realitate este o filozofie în sine care, studiată mai atent, poate schimba geometria, deoarece numărul de puncte al oricărui element geometric este atât de mare încât regulile aritmeticii cunoscute nu se mai aplică. Evaluând punctele dintr-o figură geometrică intrăm in lumea numerelor infinite care este o lume proprie fascinantă.  
  
Geometria este partea din matematică care studiază relaţiile metrice în şi între figuri. Relaţiile se referă la mărime şi situare. Întâlnim entităţi liniare având o singură măsură lungimea, entităţi bidimensionale de ordinul suprafeţelor sau tridimensionale constituite în corpuri geometrice.  
  
Constituentul fizic al acestor entităţi este punctul pe care-l putem defini astfel:  
  
Punctul este elementul infinit mic al unei mulţimi aglomerabile (numărabile) infinită. Un punct devine marcant numai după definirea sa ca loc geometric. Locul geometric reprezintă o submulţime de puncte care satisfac o expresie matematică sau stabilesc o poziţie. Un exemplu ar fi cercul care este locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de un punct fix dat.  
  
Planul euclidian, notat recent cu E2, este reprezentat geometric printr-un paralelogram. Geometria afină nu recunoaşte acest plan dar defineşte un plan teoretic constituit de suprafaţa unei sfere cu rază infinită (planul U de la infinit). Acest plan U are toate caracteristicile planului euclidian şi poate fi prezentat congruent cu planul E2, geometria euclidiană păstrând-uşi astfel toate proprietăţile.  
  
Fie dat un cerc de rază R finită cu centrul în O construit într-un plan E2 de mărime infinită. Atât cercul cât şi planul luat în considerare au fiecare câte o infinitate numărabilă de puncte geometrice. Ne propunem să comparăm cele două mulţimi de puncte, respectiv Np, numărul de puncte constitutive ale unui plan infinit şi Nr numărul constitutiv de puncte ale unui cerc de rază finită R.  
  
Cele două mărimi Np şi Nr comparate sunt infinite iar raportul lor este potrivit analizei matematice o nedeterminare. Luate ca funcţiune cele două entităţi comparate sun de acelaşi grad (arii, deci gradul 2) având drept raport, la limită, o constantă K care poate lua o valoare raţională între zero şi infinit.  
  
Dacă şi numai dacă planul E2 luat în considerare este circular, fără colţurile cauzate de un paralelogram, raportul Np/Nr = 1 deoarece raza cercului nu are semnificaţie în numărul de puncte infinite existente în figura sa. Raportul rămâne însă unitar chiar şi în cazul planului dreptunghiular deoarece adăugând orice valoare unei mărimi infinite valoarea ei nu se modifică.  
  
Rezultă inerent că  
  
Un plan euclidian infinit nu poate fi decât circular, colţurile cauzate de un paralelogram circumscris cercului fiind estompate de infinitul razei cercului.  
  
Demonstrăm egalitatea numărului puncte geometrice Np = Nr în figura de mai jos, prin:  
  
Fie dat cercul O cu diametrul AB şi mediatoarea M a segmentului AB în rol de axă a ordonatelor pentru planul P reprezentat de dreptunghiul negru. Din fiecare punct Cn al mediatoarei trasăm arcurile AB (notate cu n). Vom crea astfel o infinitate de perechi de arcuri de forma arcului 1 cu perechea sa 3. Toate punctele mediatoarei se reaşează proporţional pe diametrul vertical al cercului O.  
  
Rotind dreapta M în jurul centrului O vom avea în axa ordonatelor absolut toate punctele planului care capătă astfel poziţionare în interiorul cercului O pe cercuri concentrice.  
  
Diametrul AB este de fapt un arc de curbură nulă şi are drept centru cele două puncte ±∞ situate la infinit pe axa ordonatelor. Şi acest arc este dublu ca şi toate celelalte, câte unul pentru fiecare semiplan.  
  
Rezultă că:  
  
Un plan euclidian E2 infinit se regăseşte punct cu punct într-un cerc indiferent de raza finită a acestuia. Expresie care se poate exprima şi prin: Toate cercurile şi figurile închise asimilate lor conţin un număr de puncte egale cu cele ale unui plan euclidian infinit.  
  
Demonstraţia de mai sus ne reaminteşte împărţirea unui segment oarecare în mai multe părţi egale folosind rigla aşezată inclinat apoi teorema lui Tales. Folosind-o, a fost admis inerent că, indiferent de lungimea sa, oricare segment de dreaptă are acelaşi număr de punct in dauna unei densităţi de aglomerare care permite ipoteza proporţionalităţii.  
  
Un punct geometric simbolizat de intersecţia a două drepte este de fapt un cerc adimensional. Dar asemănător cu infinitul de ordinul continuului din algebră, geometria poate admite că un punct geometric conţine în sine o infinitate de puncte adimensionale, infiniţi mici de ordinul continuului.  
  
Puncte geometrice dincolo de infinit.
Dese ori locurile geometrice, numite şi grafice, pot închide topologic un domeniu care are proprietăţi diferite de planul pe care graficul este aşternut. Astfel considerând planul cercului drept referinţă, constatăm că ordonata unui punct interior este reală pe când ordonata unui punct exterior este imaginară complex conjugată. Punctele din interiorul cercului par a aparţine unui alt plan decât acela pe care cercul a fost desenat determinând două domenii de existenţă diferite. Pentru cerc punctele din exteriorul său nu există fizic, sunt deci imaginare. Şi este normal deoarece potrivit demonstraţiei de mai sus cercul conţine în interiorul său absolut toate punctele planului pe care a fost desenat.  
  
  
  
Un cerc, orice mărime fizică ar avea raza sa R, înglobează invariabil, o infinitate de punct. Astfel el este locul geometric al punctelor situate la infinit faţă de centrul său. Cercul desenat a devenit o linie de demarcaţie a unui nou plan infinit diferit de planul E2 al hârtiei pe care a fost desenat.  
  
Limita unui plan infinit reprezentat de cerc ne permite să precizăm proprietăţi care nu apar într-un plan figurat dreptunghiular.  
  
  
  
Vă invit să explicaţi ce vedeţi în desenul alăturat, preluat din Wikipedia geometrie neeuclidiană https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry. Un fascicol de segmente care trece prin punctul P şi alături un segment de dreaptă R situat la distanţa BP. Dacă toate segmentele ar fi drepte întregi ar fi trebuit măcar să fi fost figurate până la marginea (presupus infinită) a dreptunghiului. Nu se poate deduce nicidecum că dreptele x şi y s-ar apropia asimptotic de dreapta R. Din contră.  
  
  
  
În http://www.referat.ro/referate/Postulatul_V_al_lui_Euclid_f1361.html puteţi găsi desenul alăturat unde sunt figurate două planuri distincte, cel galbe şi cel alb limitat de un cerc care reprezintă linia de infinit. Tot fascicolul de drepte roşii şi verzi este paralel cu dreapta albastră prin simplu fapt că orice coardă a cercului reprezintă o dreaptă întreagă care începe şi se termină la infinit (linia îngroşată a cercului)  
  
Cu excepţia dreptelor întregi care, în cerc, iau forma unei coarde, toate celelalte figuri se raportează congruent. In fond este indiferentă forma planului euclidian luat în considere. Alegerea cercului se face numai când dorim să punem în evidenţă limitele infinite ale planului de desenare, de exemplu, intersecţia în plan a două drepte. Linia cercului devine în acest caz linia de infinit. Oare mai există ceva dincolo de această linie?  
  
În geometria analitică cercul ca şi hiperbola sau parabola sunt conice, secţiuni plane în con. Ele au domenii de existenţă numai în zona concavă, interiorul cercului de pildă. În zona convexă, cum ar fi exteriorul cercului, pentru fiecare abscisă corespunde o ordonată imaginară complex conjugată. Rezultă că interiorul şi exteriorul cercului conţin puncte de natură diferită, reale în interior, imaginare în exterior.  
  
Cu alte cuvinte putem concluziona:  
  
Totalitatea absolută a punctelor geometrice cuprinse într-un plan euclidian E2 infinit, pot fi concentrate într-un cerc de rază finita R circumscris unei figuri geometrice oarecare. In afara liniei acestui cerc sunt concentrate toate punctele geometrice imaginare, care au altă natură decât cele cuprinse în interiorul său.  
  
Mărimea R a razei cercului de referinţă poate fi aleasă astfel ca să limiteze zona finită din jurul figurii. Figura nu este cu nimic alterată exceptând dreptele întregi eventual figurate care se rezumă la coarde ale cercului.  
  
După cum am enunţat mai sus un punct geometric situat pe linia de demarcaţie se află la infinit faţă de centrul cercului, considerat în puncte geometrice. În consecinţă aceeaşi figură desenată în cercuri de rază diferită pot avea cele mai diverse proprietăţi.  
  
Exemplificare:  
  
Cercul roşu constituie un plan infinit care cuprinde în sine o figură geometrică constituită de un triunghi având figurate cercul înscris în el (cel galben) şi cel circumscris (alb) adică tot ce este figurat în zona neagră.  
  
Făcând abstracţie de cercul roşu, cel alb conţine un plan infinit având figurate trei drepte (cele albastre) care se intersectează la infinit. În consecinţă aceste drepte sunt paralele între ele două câte două rămânând totuşi tangente la cercul galben.  
  
Considerând numai cercul galben ca reprezentant al unui plan infinit, dreptele albastre sunt trei tangente cu ordonate complexe care se reduc la, fiind înghesuite în, punctele de tangenţă.  
  
Planul euclidian care suportă figurarea este dreptunghiul negru considerat infinit numai prin această afirmaţie expresă şi conţine un număr de puncte geometrice egal cu puncte fiecărui cerc înscris în el.  
  
  
  
Reiese clar că avem o metodă simplă de cercetare a zonelor infinite prin limitarea zonei considerată finită. Astfel infinitul nu mai este „ceva mare, foarte mare” şi putem analiza concret ce exisă şi ce nu există dincolo de infinit. Infinitul de puterea continuului devine astfel ceea ce era ieri „infinitul” pentru noi, o sperietoare de ciori. Până o vom traduce şi această noţiune, cândva! Vă invit să încercaţi dacă vă duce mintea. O sugestie: infinitul de puterea continuului ar putea fi, de exemăl partea ală a foii pe care este inserat texul.  
  
Săritura ±∞
Mulţimea numerelor întregi poate fi defalcată în trei submulţimi care, fiecare în parte putând reprezenta o întreagă mulţime de sine stătătoare şi anume:  
  
Mulţimea numerelor naturale negative (-∞ … -1)  
  
Mulţimea fracţiunilor de unitate (-1 … 1) neglijată în între întregi  
  
Mulţimea numerelor naturale (1 … ∞)  
  
Ca număr natural, mulţimea fracţiilor de unitate poate fi prezentată de mulţimea vidă având simbolul 0, aici numai în rol de separare a numerelor naturale de cele negative întregi. În final axa numerelor întregi ia forma:  
  
-∞ … -1000 … -1, ±0, 1 … 1000 … ∞  
  
Observăm că în stânga lui 0 avem numai valori negative iar în dreapta lui valori pozitive deci 0 poate lua atât valoarea pozitivă cât şi aceea negativă. Practic 0 este punctul de schimbare a semnului în mulţimea numerelor întregi. Dar nimic nu ne împiedică să plecăm cu axa de la -0 deplasându-ne descrescător, respectiv trecând prin ±∞ apoi terminând cu 0 sub forma:  
  
-0 … -1 … -1000 … ±∞ … 1000 … 1 … 0 cu infinitul ca punct de schimbare de semn  
  
Reunind cele două forme care reprezintă aceeaşi axă putem obţine:  
  
-∞ … -1000 … -1, ±0, 1 … 1000 … ±∞ … -1000 … -1, ±0, 1 … 1000, … ±∞  
  
Obţinem inerent o formă ciclică cu două ramuri specifice unui cerc care se reduc la:  
  
0 … ±1 … ±1000 … ∞  
  
cu două schimbări de semn respectiv pe 0 şi ∞ capete de ramură. Rezultă că punctele -∞ respectiv ∞ se unesc unul cu altul într-o axă devenită circulară. Practic am aşternut axa numerelor întregi pe un cilindru caz evident când studiem funcţiile trigonometrice tangentă şi cotangentă.  
  
Cilindrul, un plan curbat
În geometria euclidiană cercul este definit de al treilea postulat pe când segmentul, prelungit în dreaptă, de primele două. Această ordine duce la concluzia că cercul respectiv dreapta sunt entităţi diferite şi distincte pe temeiul că, la construirea lor, se folosesc instrumente diferite, în speţă compasul respectiv rigla. În natură nu există drepte ci linii curbe. Între două puncte date pot duce cu compasul o infinitate de arce dar cu rigla numai o linie. Îmi permiteţi să consider generalizată linia curbă, şi caz particular dreapta, o linie de curbură nulă.  
  
Orice plan poate fi la rândul său curbat, chiar pe mai multe direcţii, obţinându-se pânze subţiri pe care eu le denumesc pelicule (peretele bulei de săpun).  
  
Curbând un dreptunghi finit pe un cerc sau deplasând o dreaptă infinită pe un cerc se obţin, în ambele cazuri, cilindrii. Rezultă că pelicula cilindrică nu este decât un plan curbat. Pelicula conică şi aceea hiperbolică sunt tot riglate ca şi cilindrul dar reprezintă planuri curbate pe mai multe direcţii. De pildă parabola hiperbolică folosită drept acoperiş al halelor mari datorită proprietăţii că pot fi armate prin cabluri pretensionate ceea ce le conferă rezistenţa necesară.  
  
Figuri imaginare
Cercul este o conică, în speţă intersecţia unui con cu un plan perpendicular pe axa conului iar hiperbola intersecţia conului cu un plan paralel cu axa aceluiaşi con.  
  
In geometria analitică funcţiunile corespunzătoare sunt  
  
Pentru cerc:  
  
x2+ y2 = r2 având ordonata y = ±Rad(x2 – y2 ) pentru orice abscisă x  
  
iar pentru hiperbolă  
  
x2- y2 = r2 având ordonata y = ± Rad(x2 + y2 ) = ± Rad(x2 – (iy)2 )unde i este simbolul imaginar.  
  
Diferenţa între aceste funcţiuni este numai un semn algebric, dar sub braţul unui radical. Hiperbola este deci imaginea unui cerc în domeniul imaginar şi reciproca.  
  
Figura alăturată cuprinde un cerc alăturat de cele două ramuri infinite ale unei hiperbole echilatere de aceeaşi rază, lipite în punctul comun graficelor adică x = ±R.  
  
Planul cercului este ortogonal planului de existenţă a hiperbolei. În consecinţă cele 2 axe verticale reprezintă în fapt câte o linie de intersecţie între două plane care, prin rabatere ne permit să reprezentăm cele două figuri diferite păstrând nealterată zona respectivă de existenţă.  
  
Practic în grafic sunt figurate trei planuri euclidiene distincte care au însă în comun axa absciselor. Planul imaginar faţă de cerc apare de două ori respectiv câte o dată pentru fiecare ramură a hiperbolei. Al treilea plan este cel negru care suportă cele două grafice cu planurile de existenţă proprii.  
  
Aceeaşi figură am obţine-o dacă neglijând simbolul imaginar i= am forţa reprezenta reala a punctelor în planul cercului dar în afara perimetrului său.  
  
De remarcat că proiecţia cercului respectiv a hiperbolei pe dreapta de separaţie sunt diferite. Cercul devine un segment de dreaptă de mărime 2R pe când hiperbola are drept proiecţie o dreaptă întreagă deoarece se întinde pe tor domeniul vertical.  
  
Rezultă că: Acceptarea unei zone de existenţă a unei funcţiuni matematice este relativă. Fiecare funcţiune pentru care există o zonă imaginară denotă că există o funcţie legată de aceea iniţială printr-o schimbare de semn sub braţul radicalului.  
  
Proiecţiile lor pe dreapta se separaţie a domeniilor ar apare ca cele două imagini deosebite de pe o monetă sau medalie. Am putea denumi a doua drept congruenta imaginară a primea.  
  
Matematicienii francezi au constatat de cca. un secol că între suprafaţa sferică şi aceea hiperbolică există o legătură care priveşte partea convexă a uneia congruentă cu aceea concavă a celeilalte. Au definit drept pseudo sferă ceea ce alţii denumesc suprafaţă hiperbolică.  
  
Nu toate funcţiile pătratice trebuie să poată avea domenii de existenţă diferite. De exemplu parabola, generată de intersecţia între un con cu un plan paralel cu generatoarea, nu are două ramuri şi în consecinţă nu prezintă domenii de existenţă. Funcţia are un vârf care se poate situa oriunde, dar acesta nu defineşte o zonă de existenţă.  
  
Figuri geometrice deschise
După cum reiese din ultimul grafic, cercul este o figură închisă iar hiperbola una deschisă dar cu două ramuri distincte. Dacă închidem cilindric acest desen, cele două ramuri ale hiperbolei se închid prin puncte de întoarcere la infinit. Curbând cilindrul într-un inel, punctele distincte ±∞ se suprapun alăturând ca figuri închise atât cercul cât şi hiperbola pe torul obţinut. Rezultă că toate figurile deschise dar cu ramuri distincte generate de un radical sunt în fapt închise prin punctele situate la infinit. Clasice sunt funcţiile trigonometrice tangentă şi cotangentă care au la unghi drept respectiv nul valori infinite în punct de întoarcere.  
  
Un segment de dreaptă, luat ca diametru al unui cerc, reprezintă în fapt două curbe distincte având centrul pe mediatoarea segmentului situat la ∞ respectiv la -∞ trasate cu compasul, nu cu rigla. Segmentul de dreaptă, cu cele două ramuri ale sale generate de sensul de creare, este în sine o curbă închisă, dacă doriţi o elipsă cu al doilea diametru nul. Şi parabola, considerată curbă deschisă se închide prin ea însăşi dacă considerăm punctul fizic ±∞ unde graficul prezintă un punct de întoarcere.  
  
În consecinţă nu există figuri deschise ci numai figuri închise, iar toate figurile închise au, în afară de lungimea perimetrală dependentă de o rază şi o lungime infinită generată de parcurgerea ciclică, unghiulară, a ramurilor. Din acest punct de vedere un segment de dreaptă nu este congruent unei drepte ci poate fi asimilat ei. Numai astfel poate fi înţeles paradoxul că o infinitate de segmente înşiruite au o infinitate de punte de aceeaşi potenţă ca aceea a unei singure drepte, deşi fiecare segment conţine o infinitate de puncte.  
  
Punctul ca infinitate de puncte.
În geometria euclidiană punctul este reprezentat de o intersecţie a două drepte în sens de complet adimensional. Totuşi o curbă este în fapt o mulţime infinită de puncte înşiruite după o regulă. Astfel mulţimea de puncte este numărabilă, punctul fiind unitatea care se adaugă spre a alungi linia. Numesc această proprietate aglomerare şi provine, ca dimensiune, din inversul unui număr natural oricât de mare.  
  
Un punct al cercului în rolul acestuia de limitare a domeniului finit de cel infinit, poate conţine o mulţime de puncte situate însă în planul imaginar. În fond pot defini punctul drept imaginea unei drepte într-un plan perpendicular pe ea. De exemplu tangent dusă la un cerc nu se află în planul format de cercul însuşi ci este reprezentată numai şi numai de punctul de tangenţă. Este cazul roţii automobilului pe şosea unde punctul de contact aparţine la două entităţi complet distincte având orientare spaţială proprie.  
  
Elementul cuprins de punctului adimensional apare ca inversul unui număr infinit de puterea continuului care nu mai este aglomerabil deoarece nu putem număra după 0, alef0 cel mai mare număr imaginabil şi limita mărimii infinite numărabile.  
  
Inversul curbării planului.
Curbând un plan cu cele două feţe colorate diferit obţinem o peliculă la care partea convexă este colorată potrivit sensului de curbare. In secţiune noua peliculă poate fi hiperbolă, parabolă, elipsă sau cerc ceea ce leagă între ele conicele de plan şi cilindru. Curbarea aceluiaşi plan pe două direcţii ortogonale duce la obţinerea unor pelicule spaţiale care pot fi suprafeţe hiperbolice, sfere, sau cilindrii. Culoarea diferită a părţii convexe, vizibilă după închidere, justifică o congruenţă între sferă şi pelicula hiperbolică, culorile sunt complementare.  
  
Bineînţeles că orice peliculă curbă poate fi desfăşurată într-una plană.  
  
Recent uni matematicieni amintesc despre o geometrie sferică şi o altă geometrie hiperbolică, adoptând simboluri de menţionat când demonstraţiile se referă la ele. Folosirea acestei precizări a apărut odată cu „constatarea” că paralele diferite posibil a fi trasate din acelaşi punct la aceeaşi dreaptă ar fi posibilă numai în geometria hiperbolică. În apărarea onoarei lui Euclid a apărut chiar geometria neeuclidiană (https://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrii_neeuclidiene) în care postulatul 5 au ar avea aplicabilitate. Nu discut păreri personale dar mie mi se par inepţii.  
  
În absenţa unei geometrii sferice în care cică „suma unghiurilor unui triunghi pot depăşi 2dr” cât prevede postulatul euclidian 5, Gerardus Mercator la sfârşitul secolului 16, a desenat, pe un plan euclidian harta pământului, desfăşurând cilindric fusurile formate de meridiane. Metoda sa mai este folosită şi astăzi ignorând noile geometri răsărite ca ciupercile. Că în sfera şi hiperbola se folosesc longitudini şi latitudini în locul coordonatelor x şi y de poziţionare este cunoscut de multe mii de ani. Nimic nu justifică necesitatea adoptării acestor geometrii deşi „sunt posibile”. In fond pelicula sferică are două dosuri. Cel exterior, convex, numit sferă iar cel interior, concav, numit hiperbolă sau popula cerul cu stelele sale. Numirea diferită a coordonatelor unui punct pe un plan, unui oraş sau a unei stele nu este suficientă spre a crea pompoase geometrii întregi. Nimeni nu mă împiedică să folosesc şi în planul euclidian coordonatele polare.  
  
Nu numai geometria
Geometri au început să restudieze imensul material constituită de gândirea faimoşilor strămoşi. Este normal deoarece mânuiesc mai multe unelte decât Euclid. N-am avea azi bombe atomice sau laser-i dacă matematicienii s-ar fi limitat la abac, riglă şi compas.  
  
Pe când o vor începe şi mânuitorii cifrelor, algebriştii?  
  
Şi numerele conţin puncte, unele vizibile ca atare înaintea zecimalelor, altele mascat în factori. Numerele prime, de exemplu, sunt puncte constitutive a tuturor numerelor.  
  
Punând ochelarii pe nas vom constata că nu există numere naturale cum nu există fracţii supraunitare. Totul nu este decât o convenţie care poate deveni stânjenitoare dacă şi când vom putea schimba păreri cu fiinţele raţionale venit din cosmos. Toate mamele îşi preaslăvesc odraslele indiferent dacă acestea sunt caporali sau generali, academicieni sau simplii trântori folosiţi la reproducere.  
  
Eu, nefiind matematician,văd lumea lor de pe scaunul de chibiţ. Si probabil mai amănunţit tocmai pentru că nu pun valoare pe amănunte. Cum s-ar zice vă prezint pădurea, nicidecum coaja copacilor.  
  
  
  
În final ce să vă spun?  
  
Puneţi-vă ochelari pe nas! Multe lucruri mici pot schimba mersul lumii, pe când multe entităţi înfricoşător de mari nu trebuie să inspire teamă. O minte ascuţită le înţelege pe amândouă. Poate în corelare care încă nu prea există.  
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referinţă Bibliografică:
Introducere în geometria afină / Emil Wagner : Confluenţe Literare, Ediţia nr. 2568, Anul VIII, 11 ianuarie 2018.

Drepturi de Autor: Copyright © 2018 Emil Wagner : Toate Drepturile Rezervate.
Utilizarea integrală sau parţială a articolului publicat este permisă numai cu acordul autorului.

Abonare la articolele scrise de Emil Wagner
Comentează pagina şi conţinutul ei:

Like-urile, distribuirile și comentariile tale pe Facebook, Google Plus, Linkedin, Pinterest și Disqus se consideră voturi contorizate prin care susții autorii îndrăgiți și promovezi creațiile valoroase din cuprinsul revistei. Îți mulțumim anticipat pentru această importantă contribuție la dezvoltarea publicației. Dacă doreşti să ne semnalezi anumite comentarii, te rugăm să ne trimiți pe adresa de e-mail confluente.org@gmail.com sesizarea ta.
RECOMANDĂRI EDITORIALE

Publicaţia Confluenţe Literare se bazează pe contribuţia prin postare directă a lucrărilor multor autori talentaţi din toate părţile lumii.

Sistemul de publicare este prin intermediul conturilor de autor, emise ca urmare a unei evaluări în urma trimiterii unui profil de autor împreună cu mai multe materiale de referinţă sau primirii unei recomandări din partea unui autor existent. Este obligatorie prezentarea identității solicitantului, chiar și în cazul publicării sub pseudonim. Conturile inactive pe o durată mai mare de un an vor fi suspendate, dar vor putea fi din nou activate la cerere.

Responsabilitatea asupra conţinutului articolelor aparţine în întregime autorilor, punctele de vedere sau opiniile expuse nefiind sub responsabilitatea administrației publicației. Răspunderea juridică asupra conținutului articolelor, inclusiv copyright-ul, aparține exclusiv autorului.

Sistemul de publicare fiind automat, administrația publicației nu este implicată în promovarea vreunui autor sau a scrierilor acestuia și nici în asumarea răspunderii editoriale sau de conținut. Dacă apar probleme de natură rasială, etnică sau copyright, vă rugăm să ni le semnalaţi pentru remediere prin ștergere la adresa de corespondenţă mai jos menţionată.

Articolele care vor fi contestate justificat prin e-mail vor fi retrase de pe site, mergându-se până la eliminarea completă a autorului care a încălcat principiile de copyright sau de non-discriminare.


E-mail: confluente.org@gmail.com

Fondatori: George Roca și Octavian Lupu

Consultaţi Catalogul autorilor pentru o listă completă a autorilor.


 
DECLARAŢIE DE CONFORMITATE CU GDPR

DECLAR CĂ SUNT DE ACORD!

ABONARE LA EDIŢIA
ZILNICĂ


ABONARE LA EDIŢIA
DE AUTOR



FLUX ARTICOLE DE AUTOR

RETROSPECTIVA
SĂPTĂMÂNALĂ
DE POEZIE
 
VALIDARE DE PAGINĂ
 
Valid HTML 4.01 Transitional
 
CSS valid!